निश्चित समाकलन $\int_{1}^{2} \frac{5 x^{2}}{x^{2}+4 x+3} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

(A) माना $I = \int_{1}^{2} \frac{5 x^{2}}{x^{2}+4 x+3} dx$.
$5x^2$ को $x^2+4x+3$ से विभाजित करने पर,हमें $5 - \frac{20x+15}{x^2+4x+3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int_{1}^{2} 5 dx - \int_{1}^{2} \frac{20x+15}{x^2+4x+3} dx = [5x]_{1}^{2} - I_1 = 5 - I_1$,जहाँ $I_1 = \int_{1}^{2} \frac{20x+15}{x^2+4x+3} dx$.
$I_1$ को हल करने के लिए,माना $20x+15 = A(2x+4) + B$. गुणांकों की तुलना करने पर,$2A = 20 \Rightarrow A = 10$ और $4A+B = 15 \Rightarrow 40+B = 15 \Rightarrow B = -25$.
अतः,$I_1 = \int_{1}^{2} \frac{10(2x+4) - 25}{x^2+4x+3} dx = 10 \int_{1}^{2} \frac{2x+4}{x^2+4x+3} dx - 25 \int_{1}^{2} \frac{dx}{(x+2)^2 - 1^2}$.
$I_1 = [10 \ln|x^2+4x+3|]_{1}^{2} - 25 [\frac{1}{2} \ln|\frac{x+2-1}{x+2+1}|]_{1}^{2} = [10 \ln|x^2+4x+3|]_{1}^{2} - \frac{25}{2} [\ln|\frac{x+1}{x+3}|]_{1}^{2}$.
सीमाओं का मान रखने पर: $I_1 = (10 \ln 15 - 10 \ln 8) - \frac{25}{2} (\ln \frac{3}{5} - \ln \frac{2}{4}) = 10 \ln \frac{15}{8} - \frac{25}{2} \ln \frac{6}{5}$.
अंततः,$I = 5 - (10 \ln \frac{15}{8} - \frac{25}{2} \ln \frac{6}{5}) = 5 - 10 \ln \frac{15}{8} + \frac{25}{2} \ln \frac{6}{5}$.